覆讀者來信：計算按揭利息 (2nd edition)

有讀者來信查問Ｈ按的利息計算方法。事緣讀者於２０１２年７月敍造了Ｐ按，息率２.３０％，供１５年，每月供款，即１８０期；然後在今年（２０１６年）８月轉做Ｈ按，沒有增加年期，就咁繼續供落去。以下是讀者提供的供款表，假設貸款額為１００萬：

讀者在第５０期轉 plan 之後，嘗試用兩種方法去計算應付利息，但無論是以ＩＰＭＴ計算，抑或是以單息每月計算，得出來的結果都跟銀行的實收金額不同，故來郵問魔術師意見。
問題１：
首先溫故知新，睇返定息Ｐ按的計算方法（Row 11-60）：
１. 年息 2.30% 等於月息 0.1917%（=2.30%/12，Column J）
２. 以 PMT 公式計出每月供款額為 $6,574.15（=PMT(0.1917,180,1000000），Column M)
３. 每月應付利息就是上月結欠乘以月息 0.1917% （Column N）
４. 本月償還本金就係 $6,574.15 減去本月應付利息（Column O）
５. 本月結欠就是上月結欠減去本月償還本金（Column P）

以讀者供款每月１６日結算，如此類推，魔術師計到讀者於２０１６年７月（第４８期）的期末結欠為 $766,068.70，跟銀行月結單相符（Row 59)；但到了２０１６年８月（第４９期），魔術師計到的期末結欠金額是 $760,962.85，但讀者所顯示的欠款卻是 $761,056.30，實際欠款比魔術師所計為多（Row 60）。問題出在哪裡呢？
既然已經有 model answer，那就用逆向計算，以所付利息與及上月結欠估返銀行條數式出嚟：發現在２０１６年８月（第４９期），銀行是用了日息計算（1496/766068.70*(365/0.023)=31），而２０１６年７月１６日至８月１５日正正過去了３１日。
留意就算２０１６年是閏年，銀行依然以一年３６５日來將年息化為日息。
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問題２：
於是讀者嘗試計算在Ｈ按計劃下所支付的每月利息:

讀者以IPMT（以PMT年金法計算利息的公式）計算，代入跟計算每月供款額相同的參數，第５０期計出來的應付利息是$1,170.12（Column H）。
以每月單息計算（前期末結欠乘本月利率），第５０期計出來的應付利息也是$1,170.12（Column I）。
但銀行月結單所顯示的的應付利息卻是$1,192.56。第５１、５２期也出現相同的情況（Column E），問題出在哪裡呢？
其實Ｈ按的算法也是大同小異，只是每個月的供款利率會 reset 一次重新計算，例如：

• 第５０期，每月利率為1.84500%/12，供款期數（已供 49 期）為 180-49=131，尚餘供款額就是第４９期的最終結欠，然後每月供款額以ＰＭＴ公式計算。
• 第５１期，每月利率為1.87600%/12，供款期數（已供 50 期）為 180-50=130，尚餘供款額就是第５０期的最終結欠，然後每月供款額以ＰＭＴ公式計算。

如此類推。
計完每月還款之後，就要計銀行的Ｈ按利息部份，公式是以日息計算的。

具體的計法就是：
１. 因為係每月還款，所以以一個月為一期，以 PMT 年金公式以月息（Column J）計算出每月供款額（Column M）。留意，因為Ｈ按息的準確度有效數字（Significant figures）去到 0.0001個基點（1% 為 100個基點（Basis point）)，例如年息 1.84500% 就是 0.0184500，準確度有效數字去到小數後７個位。將年息除以１２得出月息，被除數（Divisor）是兩個位，準確度有效數字就要向右取多兩個位，即共９個位，才會維持返足夠準確度。讀者不信的話，可以嘗試其他 rounding，得出來的答案是會有誤差的。
２. 以每月日數作日息計算（Column N）。跟步驟１同樣道理，將年息除以３６５得出日息，被除數是三個位，有效數字就要向右取多３個位，即共１０個位，方可作準（Column K）。
以銀行月結單所示的第４９期期末結欠 $761,056.30（Cell P61，綠格）開始計算，第５０期本來應該是有３２天（由２０１６年８月１６日至９月１６日），但以３２天計是計不到應付利息 $1,192.56（Cell E62）的。原來銀行是用了３１天來計（可能是銀行系統未能就轉 plan 「無縫銜接」，免費送了一天利息給讀者），唯有手動更正（Cell L62，紅格）。
之後的第５１期（Row 63）與及第５２期（Row 64）就重回正軌，計出來的數字跟月結單相符。
另外，讀者的５２期期末結欠出錯，公式應是 G63-F64才對（Cell G64，黃格）。
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問題３：
既然 IPMT 公式並不能計到日息，咁鬼廢仲有乜用呢？
答案也很簡單：公式是死的，參數是活的。
在 PMT（或IPMT）等一系列的年金公式裡面，只要將參數定為相同的「時間單位」就可以：例如 rate 是指年息的話，per 和 nper 所指的「期數」就是以年為單位； rate 是指月息的話，per 和 nper 所指的「期數」就是以月為單位，如此類推。讀者以月為期數輸入公式，公式計唔到以日為單位的答案是正常不過的事。
正如你只有一把只有厘米為刻度的尺，卻去投訴為什麼量不到毫米，那對那把間尺豈不是很不公平？

記住，獨孤求敗的心法就是：「理解」。明暸劍理，融會貫通然後使出來，有無招式已經不重要，玄鐵劍和獨孤九劍都是這樣的道理。
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後記：
有關準確度有效數字，試想
（a） 0.1/9 = 0.01111111... = 0.0 (小數後一個位)，0.01 (小數後兩個位)，0.011（小數後３個位）
（b） 0.1/10 = 0.01 = 0.0 (小數後一個位)，0.01 (小數後兩個位)，0.010（小數後３個位）
（c） 0.1/11 = 0.009090909... = 0.0 (小數後一個位)，0.01 (小數後兩個位)，0.009（小數後３個位）
也就是說，被除數是兩個位的話，要取３個位，才可以明確地將（a）、（b）、（c）三個 cases 分辨出來。
嗯，這應該是初中程度的數學，要理解應該不難吧？
（2nd edition：多謝讀者指正，魔術師太懶惰了，沒有查清楚，錯用significant figure呢個term，原文的意思是由 rounding 造成的誤差，已更正為「準確度」，即 precision 和 accuracy 的意思。）