簡易數學（十三）之按揭借貸溫故知新

 無論是平息借貸計實質年利率（見《平息借貸》），抑或係月供股票、基金，又或者係供樓，其本金 S，每月供款 a、年期 n、利率（或回報率，r）的關係可以由中學學過的 Geometric Sum formula 推算而成

（圖片來涼：Cuemath: Geometric Sum Formula, captured on 23 Aug 2025）

或可以用 Excel formula PV, RATE, NPER 等計算。

科技日夜進步的今天，答案已可以用 AI 計出來（見 June: 按揭貸款計計數），不過都要看使用時會不會錯手，因為簡單的數學公式不應受 AI model 影響，是應該有既定答案的；若發現答案不合常理，應該看看錯在哪裡。

簡易數學（十二）之槓桿就是為了去槓桿

近年有一句關於槓桿投資（即係「做孖展」）的說法，就係「槓桿就是為了去槓桿」，意即投資者在本金少的情況下，先以借貸（可以是股票／債券／基金按押、樓宇加按、甚至是信用卡現金提款都可以）擴大本金投資，賺取息差，然後再逐步還款減債，以達「去槓桿」之效。最常見的「槓桿投資」，唔係乜 sir 的「債基疊增」，而係傷民優而為之的加按買樓一開二、二開三，「脅持租客」幫手還款，「去槓桿」也。
由於樓按在我城有其獨特性，就算係金融風暴樓價大跌，只要業主依時還得起按揭供款，銀行多數唔會 call loan，呢種槓桿跟一般投資者理解的「做孖展」，倉值跌了需要補倉，補唔到倉證券行有權斬倉的「孖展」唔同。所以，傷民只會聞導致丁蟹掟仔落街的孖展色變，而唔會覺得樓宇按揭都係「孖展」的一種。

簡易數學（十一）之求學不是求答案

魔術師的鄉大物理系 Whatsapp group 中，除咗講親子育兒之外，最多就係「分享」各大名校的考試測驗 past paper 或是 mock 卷，皆因大多數舊生係走去教師也。魔術師一向對呢類題材都不是太感冒，要 glance through 都只係因為「強迫症」作祟，撳開個 Whatapps clear 個 unread count；之不過，間唔中都有啲有趣題目可以諗下。好似以下呢條題小一題目咁，竟然就考起魔術師（睇怕如果開呢間學校名的話，一定會大受怪獸嘉獎歡迎）：

簡易數學（十）之精英補習班

今日打開信箱，見到屯門有間新開的數學補習班派來廣告小冊子。魔術師好奇心起，揭一揭...嘩，原來依家要「贏在起跑線」（「贏在射精前」唔見得識計數），真係唔係咁易！

簡易數學（九）之速解 Monty Hall problem

已匿埋的阿米（唔好以為魔術師鬧到佢摺埋，佢自稱係因為自己太蠢搞到技術上有問題而刪 blog）曾經引述過呢份轉載：

心理障礙
BY 曾鈺成 TSANG YOK-SING, JASPER ON 2016-08-04
2016年8月4日 《AM 730》 鈺成其事
以下這問題看似十分簡單，卻難倒過很多人，包括數學家。
電視台主辦了這樣一個有獎遊戲：參加者面前有三道關上的門，其中一道門後面有一輛名車，另外兩道門後面各有一隻山羊。參加者選擇其中一道門，門後面的車或羊就是他的獎品。不過，在他把門打開之前，參加者有第二個選擇機會。他向主持人指出他選擇哪一道門之後，主持人便在餘下的兩道門中，打開一道後面藏著山羊的。然後，參加者可以改變初衷，選擇餘下的另一道門，或者維持原來的選擇不變。
問題：參加者應該改變選擇還是不變？如果你認為改變選擇不會令參加者提高贏得名車的機會，你的答案就和絕大多數人一樣。
瑪麗蓮·沃斯·莎凡特(Marilyn vos Savant，1946年在美國出生)是健力士世界紀錄裡IQ最高的人。她在星期日雜誌Parade有名為Ask Marilyn的專欄，回答讀者提出的IQ題和其他各式各樣的問題。1990年9月，有讀者提出以上問題，莎凡特在專欄裡回答說：應該改變選擇；因為維持原來選擇而贏得名車的機會是三分之一；如果改變選擇，贏得名車的機會增至三分之二。
這答案發表後，莎凡特收到過萬封回應的來信，其中超過九成，包括不少來自數學教師和高學歷人士的，都說她錯誤。有的來信更提出尖刻嚴厲的批評，指她頑固無知、不負責任、誤導公眾。
其實莎凡特的答案是正確的。她用了連續兩期專欄的篇幅，詳細列出了嚴格的證明，令大部分懂數學的人信服；不少數理學者仍堅持反對意見，直至看到電腦模擬證明了莎凡特的答案正確。不顧一切繼續拒絕接受莎凡特答案的，依然大有人在，包括諾貝爾物理學獎得主。直至今天，第一次看到這問題的人，大多數都認為不應改變選擇。
有分析認為，人們作出錯誤判斷的原因，是心理問題而不是邏輯問題。專家特別指出三種心理現象，妨礙了人們作出「要變」的正確判斷：一是「稟賦效應」，即過高估計已存在的東西(已選定的一道門)的價值；二是「現狀偏差」，即情緒上傾向維持現狀；三是「多一事不如少一事」，寧願少做了應做的事(改變選擇)，害怕多做了不應做的事。
（完）

其實呢條問題就係大名鼎鼎的 Monty Hall problem：

Suppose you're on a game show, and you're given the choice of three doors: Behind one door is a car; behind the others, goats. You pick a door, say No. 1, and the host, who knows what's behind the doors, opens another door, say No. 3, which has a goat. He then says to you, "Do you want to pick door No. 2?" Is it to your advantage to switch your choice?

當主持人揭開了三道門其中之一道，藏有了羊的門之後，你得到資訊是跟一開始給兩道門二揀一的情況是不同的，後者的機會率是５０／５０，但前者卻明顯不是（變成了 conditional probability）。

簡易數學（六）之反智生果

問：　３８年前存款１元，現在在９７．５元，平均年回報是幾多？
答：　平均回報率為　９７．５／３８　＝　２．５６倍
不要驚訝，上述計算法可在生果日報2007年2月5日財經版的中環在線找到，仲有作者李華華的大大隻字畫押作實：

中環在線：長渣優質樓變千萬富翁股神畢菲特發達之道係長渣優質股，用呢個方法投資物業一樣掂，依家就有辦畀你睇。西半山旭龢道10號清暉大廈，67年落成，有個用家係兩年後，用11.8萬連車位買入一個兩千呎既中層C單位用黎自住，期間樓市出現幾個大升浪，佢都不為所動唔肯賣。最近趁豪宅狂潮，沽貨賺錢鬆人，約1150萬賣出，呎價5750蚊。業主渣住個單位38年，勁賺1138.2萬，升值96.5倍，平均一年升超過2.5倍，咁既回報去邊度搵？係咪同股神有得揮？呢個業主冇投資物業，只係靠渣住個豪宅單位，就變成千萬身家；不過，都要佢識揀至得既。利嘉閣柯遵標話，依家大廈僅餘兩個放盤，叫價高到9000蚊呎。

簡易數學（五）之如果每年都．．．

今天（２００７年１月１９日）財經DNA的作者羅某人繼上期 log n^x 又發謬論，充分反映其思緒混亂之本質： 「上星期五寫『每一年儲起ｘ元，ｎ年後可得ｎ個ｘ元，即ｎ^ｘ元．』承蒙集友銀行張君指正，正確應為ｎｘ元．在下一時疏忽，犯上了２＋３＝６之錯．解釋ｌｏｇ的比喻，應以每年有ｘ倍的回報，才會得ｘ^ｎ元．這亦符合財富累積的原理，因為每年只儲ｘ元，而ｎ年後得ｎｘ元是忽略了『錢搵錢』的能力．然而，在下對所信之說仍會繼續大聲疾呼．」

簡易數學（四）之ｌｏｇ的玄機（２ｎｄ Ｅｄｉｔｉｏｎ）

魔術師在今天（２００７年１月１９日）信報第二十頁「財經DNA」一文看到了一段頗為不可思議的東西，節錄如下： 「．．．於此，有需要重溫一下中小學的數學。如果每一年儲起ｘ元，ｎ年後可得多少？對了。是ｎ個ｘ元，即xⁿ元；那末，log了之後的意思又是什麼？ ｎ年後，log(x)元變了log(xⁿ)元，或nlog(x)元，即是翻了ｎ番。人的最原始儲蓄或財富累積模式是「xⁿ」的，log的意思是指某時間翻了幾番。．．．」

簡易數學（三）之幸福摩天輪

有友人問魔術師為什麼在玩摩天輪時，明明開始時見到一家四口在自己前面，但當上到頂後一家四口卻在自己後面呢？

簡易數學(二)之分數調整

把一個分數的分子和分母同時加上某一個數,得出來的「新分數」會比「舊分數」大抑或小?

簡易數學(一)之腦筋急轉彎

本站開張,打響頭炮的是兩條腦筋急轉彎的問題.


第一條是當年筆者中學時的校內問答比賽題目,現時來說當然是老掉了牙,不過也可以當為熱身運動,試在兩秒內解答

第二條是大學時教授的提問,也是要兩秒內回答,用來測試我們是否讀死書

答案嘛!Click 下去便知道了