簡易數學（九）之速解 Monty Hall problem

已匿埋的阿米（唔好以為魔術師鬧到佢摺埋，佢自稱係因為自己太蠢搞到技術上有問題而刪 blog）曾經引述過呢份轉載：

心理障礙
BY 曾鈺成 TSANG YOK-SING, JASPER ON 2016-08-04
2016年8月4日 《AM 730》 鈺成其事
以下這問題看似十分簡單，卻難倒過很多人，包括數學家。
電視台主辦了這樣一個有獎遊戲：參加者面前有三道關上的門，其中一道門後面有一輛名車，另外兩道門後面各有一隻山羊。參加者選擇其中一道門，門後面的車或羊就是他的獎品。不過，在他把門打開之前，參加者有第二個選擇機會。他向主持人指出他選擇哪一道門之後，主持人便在餘下的兩道門中，打開一道後面藏著山羊的。然後，參加者可以改變初衷，選擇餘下的另一道門，或者維持原來的選擇不變。
問題：參加者應該改變選擇還是不變？如果你認為改變選擇不會令參加者提高贏得名車的機會，你的答案就和絕大多數人一樣。
瑪麗蓮·沃斯·莎凡特(Marilyn vos Savant，1946年在美國出生)是健力士世界紀錄裡IQ最高的人。她在星期日雜誌Parade有名為Ask Marilyn的專欄，回答讀者提出的IQ題和其他各式各樣的問題。1990年9月，有讀者提出以上問題，莎凡特在專欄裡回答說：應該改變選擇；因為維持原來選擇而贏得名車的機會是三分之一；如果改變選擇，贏得名車的機會增至三分之二。
這答案發表後，莎凡特收到過萬封回應的來信，其中超過九成，包括不少來自數學教師和高學歷人士的，都說她錯誤。有的來信更提出尖刻嚴厲的批評，指她頑固無知、不負責任、誤導公眾。
其實莎凡特的答案是正確的。她用了連續兩期專欄的篇幅，詳細列出了嚴格的證明，令大部分懂數學的人信服；不少數理學者仍堅持反對意見，直至看到電腦模擬證明了莎凡特的答案正確。不顧一切繼續拒絕接受莎凡特答案的，依然大有人在，包括諾貝爾物理學獎得主。直至今天，第一次看到這問題的人，大多數都認為不應改變選擇。
有分析認為，人們作出錯誤判斷的原因，是心理問題而不是邏輯問題。專家特別指出三種心理現象，妨礙了人們作出「要變」的正確判斷：一是「稟賦效應」，即過高估計已存在的東西(已選定的一道門)的價值；二是「現狀偏差」，即情緒上傾向維持現狀；三是「多一事不如少一事」，寧願少做了應做的事(改變選擇)，害怕多做了不應做的事。
（完）

其實呢條問題就係大名鼎鼎的 Monty Hall problem：

Suppose you're on a game show, and you're given the choice of three doors: Behind one door is a car; behind the others, goats. You pick a door, say No. 1, and the host, who knows what's behind the doors, opens another door, say No. 3, which has a goat. He then says to you, "Do you want to pick door No. 2?" Is it to your advantage to switch your choice?

當主持人揭開了三道門其中之一道，藏有了羊的門之後，你得到資訊是跟一開始給兩道門二揀一的情況是不同的，後者的機會率是５０／５０，但前者卻明顯不是（變成了 conditional probability）。
要解決這個問題，有些人用畫圖法：

（圖片來源：Wikipedia： Monty Hall problem）

也有人學院派地用 Bayes Theorem 來證明：：

（圖片來源：Quora： How do I solve the Monty Hall Problem using Bayes Theorem?）

如果嫌魔術師在中六都已經學過的數學公式太「艱澀」、「離地」的話，可以睇動畫：

不過，魔術師的解法就唔使咁麻煩：
１. 在你選了門１，而主持揭開了藏有羊的門３之後，如果你選擇唔轉揀門２，即是說情況跟主持從沒有給過提示一樣，你依然堅持猜門１藏有香車（有無美人就唔知）。毋忘初心選門１的中獎機會率是１／３。
２. 在你選了門１，而主持揭開了藏有羊的門３之後，如果你現在改變了主意，選擇轉揀門２，即是說你現在是作第二個估算，估第一次自己係猜錯，中獎機會率就是２／３。
再說一次：第一次估門１有車，命中率１／３；第二次估「第一次估錯」，即是第二次是估門１藏的是羊。只消施展黃Ｃ／笨土派的絕技搬一下個龍門，中獎機會率便提高成２／３。
對曾城城所言，魔術師不知道選唔轉的人是否真係對門１的「估值」有過高的期望（「稟賦效應」），問題是「估值」如何可以計算出來？「多一事不如少一事」即係「多做多錯，少做少錯」，起碼你對事情都需要有某種暸解，要有個判斷，remain status quo 的原因是「不做已經夠好」。
魔術師無責任地認為在問題上抱持「現狀偏差」的人應佔多數，因為理智地懂得計算成敗得失的人應該唔多，而「地球豬們」面對自己都唔知嘅嘢，求其點只兵兵選了就算，轉或不轉無分別，而不轉就「最省力」，聽天由命，remain status quo 只是 indifference 的結果。
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