2016年10月3日 星期一

簡易數學(九)之速解 Monty Hall problem

已匿埋的阿米(唔好以為魔術師鬧到佢摺埋,佢自稱係因為自己太蠢搞到技術上有問題而刪 blog)曾經引述過呢份轉載:
心理障礙
BY 曾鈺成 TSANG YOK-SING, JASPER ON 2016-08-04
2016年8月4日 《AM 730》 鈺成其事
以下這問題看似十分簡單,卻難倒過很多人,包括數學家。
電視台主辦了這樣一個有獎遊戲:參加者面前有三道關上的門,其中一道門後面有一輛名車,另外兩道門後面各有一隻山羊。參加者選擇其中一道門,門後面的車或羊就是他的獎品。不過,在他把門打開之前,參加者有第二個選擇機會。他向主持人指出他選擇哪一道門之後,主持人便在餘下的兩道門中,打開一道後面藏著山羊的。然後,參加者可以改變初衷,選擇餘下的另一道門,或者維持原來的選擇不變。
問題:參加者應該改變選擇還是不變?如果你認為改變選擇不會令參加者提高贏得名車的機會,你的答案就和絕大多數人一樣。
瑪麗蓮·沃斯·莎凡特(Marilyn vos Savant,1946年在美國出生)是健力士世界紀錄裡IQ最高的人。她在星期日雜誌Parade有名為Ask Marilyn的專欄,回答讀者提出的IQ題和其他各式各樣的問題。1990年9月,有讀者提出以上問題,莎凡特在專欄裡回答說:應該改變選擇;因為維持原來選擇而贏得名車的機會是三分之一;如果改變選擇,贏得名車的機會增至三分之二。
這答案發表後,莎凡特收到過萬封回應的來信,其中超過九成,包括不少來自數學教師和高學歷人士的,都說她錯誤。有的來信更提出尖刻嚴厲的批評,指她頑固無知、不負責任、誤導公眾。
其實莎凡特的答案是正確的。她用了連續兩期專欄的篇幅,詳細列出了嚴格的證明,令大部分懂數學的人信服;不少數理學者仍堅持反對意見,直至看到電腦模擬證明了莎凡特的答案正確。不顧一切繼續拒絕接受莎凡特答案的,依然大有人在,包括諾貝爾物理學獎得主。直至今天,第一次看到這問題的人,大多數都認為不應改變選擇。
有分析認為,人們作出錯誤判斷的原因,是心理問題而不是邏輯問題。專家特別指出三種心理現象,妨礙了人們作出「要變」的正確判斷:一是「稟賦效應」,即過高估計已存在的東西(已選定的一道門)的價值;二是「現狀偏差」,即情緒上傾向維持現狀;三是「多一事不如少一事」,寧願少做了應做的事(改變選擇),害怕多做了不應做的事。
(完)
其實呢條問題就係大名鼎鼎的 Monty Hall problem
Suppose you're on a game show, and you're given the choice of three doors: Behind one door is a car; behind the others, goats. You pick a door, say No. 1, and the host, who knows what's behind the doors, opens another door, say No. 3, which has a goat. He then says to you, "Do you want to pick door No. 2?" Is it to your advantage to switch your choice?
當主持人揭開了三道門其中之一道,藏有了羊的門之後,你得到資訊是跟一開始給兩道門二揀一的情況是不同的,後者的機會率是50/50,但前者卻明顯不是(變成了 conditional probability)。
要解決這個問題,有些人用畫圖法:
(圖片來源:Wikipedia: Monty Hall problem

也有人學院派地用 Bayes Theorem 來證明::

如果嫌魔術師在中六都已經學過的數學公式太「艱澀」、「離地」的話,可以睇動畫:

不過,魔術師的解法就唔使咁麻煩:
1. 在你選了門1,而主持揭開了藏有羊的門3之後,如果你選擇唔轉揀門2,即是說情況跟主持從沒有給過提示一樣,你依然堅持猜門1藏有香車(有無美人就唔知)。毋忘初心選門1的中獎機會率是1/3。
2. 在你選了門1,而主持揭開了藏有羊的門3之後,如果你現在改變了主意,選擇轉揀門2,即是說你現在是作第二個估算,估第一次自己係猜錯,中獎機會率就是2/3。
再說一次:第一次估門1有車,命中率1/3;第二次估「第一次估錯」,即是第二次是估門1藏的是羊。只消施展黃C/笨土派的絕技搬一下個龍門,中獎機會率便提高成2/3。
對曾城城所言,魔術師不知道選唔轉的人是否真係對門1的「估值」有過高的期望(「稟賦效應」),問題是「估值」如何可以計算出來?「多一事不如少一事」即係「多做多錯,少做少錯」,起碼你對事情都需要有某種暸解,要有個判斷,remain status quo 的原因是「不做已經夠好」。
魔術師無責任地認為在問題上抱持「現狀偏差」的人應佔多數,因為理智地懂得計算成敗得失的人應該唔多,而「地球豬們」面對自己都唔知嘅嘢,求其點只兵兵選了就算,轉或不轉無分別,而不轉就「最省力」,聽天由命,remain status quo 只是 indifference 的結果。
***
伸延閱讀:
思辯練習題之答米問

26 則留言:

  1. 係第四種心理:相比一錯到底,曾經揀對而轉為揀錯的結果太令人難受,故寧願執迷不悔。

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    1. 所以話「賣仔莫摸頭」,做咗的決定,就是sunk cost,追到追唔返。

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    2. 其實我覺得有哋港人做咗兩年黃C, 依家應已有點後悔(尤其見到某哋同伴的激進行為)。 但既然已洗濕咗個頭,又無guts認自己撰錯, 咪繼續以FB profile條黄絲带自居囉...

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    3. 估唔到連做黃C都可以「無限補時」.

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  2. 個解法幾得意,但我始終覺得第一種解法最易明.(G. Gigerenzer 認為這是因用了natural frequency方法之故,開啓了我們繼承自原始人的計算概率module。)用Bayes rule 解我覺得最唔自然,雖然Bayes rule 在其他許多方面好有用。

    另,魔兄有冇玩過Linda problem,有冇中招?

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    1. //但我始終覺得第一種解法最易明

      我只係覺得畫圖夠哂visualisation.

      //魔兄有冇玩過Linda problem,有冇中招?

      我無中招,不過我係度諗關bank teller 乜事 XD

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  3. 雖然明,但我依然擺脫唔到無咗一個選擇之後,各門始終係 1/2 嘅機會呢種唸法。 :(

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    1. 因為依家係問你轉定唔轉, 唔係要你從頭開始二揀一.

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  4. //雖然明,但我依然擺脫唔到無咗一個選擇之後,各門始終係 1/2 嘅機會呢種唸法。 :(

    這正是Monty Hall problem的有趣之處。餘下只有兩道門,有車的機率似乎為0.5。要破解箇中盲點,與主持人的互動是否關鍵?他會因你的選擇而開門...

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    1. //與主持人的互動是否關鍵?他會因你的選擇而開門...

      如果你第一round猜中了車(door 1), 那主持人可以在兩道藏有羊的門之中(door 2 AND door 3)之中二揀一,主持人的degree of freedom 最大.

      如果你第一round猜中了羊(door 1), 那主持人只可以打開餘下藏有羊的門(door 2 OR door 3),主持人這時是「毫無選擇的餘地」.

      可以見到,主持人的行為是受你第一round是否命中而做出來的舉動,所以第2round餘下兩道門, 其藏有車或羊的「資訊」並不是0, 而係隱含咗你第一round的選擇而帶來的資訊. 相反如果一開始就random俾兩道門你揀, 「資訊」就係0.

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    2. 通常d人唔明,我會好似下面留言咁極端化個題目去解,當然只係反駁「餘下只有兩道門,有車的機率似乎為0.5。」呢個諗法,實際上勝率高左幾多都要計下。

      可能一般人直覺上分辦唔到1/3 同2/3嘅差異,而極端化例子上0同1嘅差異就可以輕易察覺。

      (純粹引導人們「直覺」上發現問題,非嚴謹數學證明,否則我上面個講法其實唔完備......)

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    3. 好多時解決問題以邏輯數理推論,有「模糊的準確」已經足夠. 當年K Young 教我地對 unit 睇下自己有無計錯數就係一例.

      又,有興趣可以選「簡易數學」的 filter, 仲有以下呢篇...

      https://magicianyang.blogspot.hk/2007/10/3rd-edition.html

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  5. 若果第三度門打開了,再作選擇,只是「選擇」的機會是三分之二,因選擇了兩次,這就不等於「中獎」的機會大了,「中獎」的機會依然是三分之一,因始終只有一輛車子。

    「選擇」的機會不等於「中獎」的機會。

    這就是說,若果給你選擇三次,「中獎」的機會也不可能是三分之三,等於一定中獎,「中獎」的機會是沒有改變過。

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    1. //若果第三度門打開了,再作選擇,只是「選擇」的機會是三分之二,因選擇了兩次,這就不等於「中獎」的機會大了,「中獎」的機會依然是三分之一,因始終只有一輛車子。
      //「選擇」的機會不等於「中獎」的機會。

      不同意。這個問題是問你轉的中獎機會大一點,還是不轉的機會大一點,是「轉/不轉」之間的選擇。第三道門打開,是基於你猜了第一次,是有因果關係存在,並不能以獨立情況去考慮.

      //這就是說,若果給你選擇三次,「中獎」的機會也不可能是三分之三,等於一定中獎,「中獎」的機會是沒有改變過。

      這看你如何定義「中獎」. 如果玩法改了: 猜第一次,開估,發現你猜的門唔中,可以再猜第二次,在剩下的門裡再選, 那你在「整個遊戲」的中獎率就是100%, 但在遊戲中每一個step的中獎率當然就是1/3 或 1/2 (剩下最後的門就一定中).

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    2. 我依然是想不通,算了!嘻嘻!

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  6. 我會極端化條題目:
    參加者面前有10,000道關上的門,其中一道門後面有一輛名車,另外9,999道門後面各有一隻山羊。參加者選擇其中一道門,門後面的車或羊就是他的獎品。不過,在他把門打開之前,參加者有第二個選擇機會。他向主持人指出他選擇哪一道門之後,主持人便在餘下的9,999道門中,打開9,998道後面藏著山羊的。然後,參加者可以改變初衷,選擇餘下的另一道門,或者維持原來的選擇不變。

    直覺上結論:轉的話命中機會率並非依舊1/2,而且會增加,所以3選1要轉。

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    1. 果然都是讀物理的. 推到extreme 攞limit 來論證是我們的強項.
      對, 你轉或不轉是一個考慮, 在剩下的9998道門之間再任意選一個又是另一個考慮, 兩者不能混為一混.

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    2. 的確呢個解法最形象化,亦即是youtube片中個阿嬋的解法。
      如果推到100萬度門,主持人在你揀剩的999999度門中篩選剩一度門俾你,呢度門仲系錯的前提是你第一次揀就一擊即中...咁樣就應該好少人會堅持呢兩度門機會是五五之比了。

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    3. //主持人在你揀剩的999999度門中篩選剩一度門俾你,呢度門仲系錯的前提是你第一次揀就一擊即中...咁樣就應該好少人會堅持呢兩度門機會是五五之比了。

      篩選剩一件689俾你...

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  7. 明白條數點計好難明點解最後兩門揀一門唔係 50/50。
    拜咗陣 Google 大神,有啲領悟。
    我咁解唔知啱唔啱。
    大家姐同細佬,各係三張啤牌抽一張。抽到 ace spade 老媽就會送間屋㑭佢。要知道老媽重男輕女,當大家姐抽咗張牌後,老媽㑭咗個貼士細佬,說明剩低兩張邊張唔係 ace spade。為咗懶公平,老媽㑭家姐選擇可改要細佬個選擇。所以,家姐換牌中屋嘅機會係大咗!

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    1. //老媽重男輕女
      //為咗懶公平,老媽㑭家姐選擇可改要細佬個選擇。所以,家姐換牌中屋嘅機會係大咗!

      巧亂...

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  8. 雖然probability不是小弟最愛的數學topic. 但有時間玩玩都覺得有趣的. 我內心的理解其實跟魔術師最後的寫法一樣. 學術型証明對一般人而言太煩了.

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    1. 用數學當然可以證明, 但我會較有興趣去找一些另類的解法呢.

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  9. 對小弟而言, probability印象最深的, 可說是, 抽5隻card, 計算 '同花', 和 '順' 的機會率, 中學生時, 直覺上看不出同花的機會是比順低.. 但熟用binomial coefficients後, 才發現順出現的機會接近同花兩倍. 很神奇.

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    1. 等於在一班45人的小學雞裡找同月同日生的兩位同學,其實機會率不是太低.

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